現役医師として回答します。かかっている病気にもよりますが、ぜひ依頼していただくと良いと思います。どうやって依頼するか、ということですが、いまのかかりつけ医に一度受診をし、「引っ越し先で新しいかかりつけを探すので、その医師に渡すための紹介状をください、これまでの検査データなども一緒にお願いします」と言えばOKです。

残念ながら紹介状は有料で、金額は病院によって異なります。ですが、その金額よりも大きな価値があると思いますので、ぜひ依頼し、新しい医師に渡しましょう。

医療というものは、「経過（長い時間でのその病気の具合）」というものを非常に重視します。たとえば「高血圧」といっても、

・20年間飲み薬を飲み続けていて血圧は130以下で落ち着いている

という人と、

・去年高血圧と指摘され160を超える血圧があったため薬を始めたが飲み忘れが多くあまり良くならない

という人では、今後の治療戦略が大幅に変わってきます。