ご質問ありがとうございます。「0で割ってはいけない」というのは誰しも抱く疑問の一つであると思います。理解するためのポイントの一つは、0という一つの数だけに注目するのではなく、計算と合わせて考えるという点にあります。
簡単に説明するために3÷0を考えましょう。もしも3÷0という計算ができるとしたら、それは何を意味するでしょうか。「3÷0は、何か一つの数になる」ということですね。ですから、その数にたとえばAという名前を付けることにしましょう。「3÷0=A」というのが正しい等式だということになります。
さて、では3÷0=Ａの両辺に0を掛けてみましょう。両辺とも数ですから0を掛けてもいいはずです。しかも等しい数ですから0を掛けた結果も等しくなるはずです。つまり「(3÷0)×0=A×0」は正しい等式ということになります（あくまで、3÷0がAという数になると仮定した場合の話ですよ）。
ところで、Aは数ですからA×0は0に等しくなってほしいと思います。どんな数でも0を掛けると0に等しくなってほしいからです。ということは「A×0=0」になります。
先ほどの結果と合わせると「(3÷0)×0=A×0=0」となり、「(3÷0)×0=0」となります。
ここでちょっと気になることが出てきました。(3÷0)×0=0ということは、3という数を0で割って0を掛けると、もとの3に戻らずに0になるということですね。私たちは「一つの数で割って、同じ数を掛けたら元に戻る」ことを期待しますが、「(3÷0)×0=0」ではそれが成り立たないことになります（あくまで、3÷0がAという数になると仮定した場合の話ですよ）。
ここで私たちは以下の①②③が同時には成り立たないことに気が付きました。
①3÷0は、何か一つの数になる（3÷0=A）
②数に0を掛けたら必ず0になる（B×0=0）
③ある数で割って、同じ数を掛けたら元に戻る（(C÷D)×D=C）
もしも、0で割ってもかまわない（0で割った結果が数になる）という①を守り、0を掛けたら0になるという②も守るなら、③は絶対に守れません。
あるいは①と③を守るなら、②は守れません。
数の体系を作るときに①を守る体系を作る（つまり0で割ってもいいというルールを作る）ことは可能です。しかし、その場合には②と③のいずれかは断念することになります。
そして小中高で学ぶ数（複素数の体系）では、①は断念して②と③を守っていることになります。
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本質的に同じ話題をこちらに書きました（説明で２と３が逆になってますけど）
◆ゼロで割ってはいけない理由｜結城浩