ご質問ありがとうございます。「0で割ってはいけない」というのは誰しも抱く疑問の一つであると思います。理解するためのポイントの一つは、0という一つの数だけに注目するのではなく、計算と合わせて考えるという点にあります。

簡単に説明するために3÷0を考えましょう。もしも3÷0という計算ができるとしたら、それは何を意味するでしょうか。「3÷0は、何か一つの数になる」ということですね。ですから、その数にたとえばAという名前を付けることにしましょう。「3÷0=A」というのが正しい等式だということになります。

さて、では3÷0=Aの両辺に0を掛けてみましょう。両辺とも数ですから0を掛けてもいいはずです。しかも等しい数ですから0を掛けた結果も等しくなるはずです。つまり「(3÷0)×0=A×0」は正しい等式ということになります(あくまで、3÷0がAという数になると仮定した場合の話ですよ)。

ところで、Aは数ですからA×0は0に等しくなってほしいと思います。どんな数でも0を掛けると0に等しくなってほしいからです。ということは「A×0=0」になります。

先ほどの結果と合わせると「(3÷0)×0=A×0=0」となり、「(3÷0)×0=0」となります。

ここでちょっと気になることが出てきました。(3÷0)×0=0ということは、3という数を0で割って0を掛けると、もとの3に戻らずに0になるということですね。私たちは「一つの数で割って、同じ数を掛けたら元に戻る」ことを期待しますが、「(3÷0)×0=0」ではそれが成り立たないことになります(あくまで、3÷0がAという数になると仮定した場合の話ですよ)。

ここで私たちは以下の①②③が同時には成り立たないことに気が付きました。

①3÷0は、何か一つの数になる(3÷0=A)

②数に0を掛けたら必ず0になる(B×0=0)

③ある数で割って、同じ数を掛けたら元に戻る((C÷D)×D=C)

もしも、0で割ってもかまわない(0で割った結果が数になる)という①を守り、0を掛けたら0になるという②も守るなら、③は絶対に守れません。

あるいは①と③を守るなら、②は守れません。

数の体系を作るときに①を守る体系を作る(つまり0で割ってもいいというルールを作る)ことは可能です。しかし、その場合には②と③のいずれかは断念することになります。

そして小中高で学ぶ数(複素数の体系)では、①は断念して②と③を守っていることになります。

 * * *

本質的に同じ話題をこちらに書きました(説明で2と3が逆になってますけど)

◆ゼロで割ってはいけない理由|結城浩

https://mm.hyuki.net/n/n76a74e22fd19

2023/08/11投稿
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