橋本 省二:量子力学のはじめのほうに出てくる調和振動子。生成・消滅演算子とかいう妙なトリックを使って解くやり方を覚えさせられて、こんなもの何の意味があるんだと不平を言った人もいるに違いありません（何しろ私がそうですから）。ところが、場の量子論まで進むとあれが粒子の生成と消滅をあらわす基本的なものにつながっていくことがわかります。難しい問題はすべからく調和振動子にまで落として考えるのが常套手段になっています。もちろんそれが「解ける」からです。 あまりにシンプルでかつ奥の深いご質問なので、なかなか回答できず時間が経ってしまいました。可積分系は数学と数理物理の一大分野になっているので、わかってない私なんかが適当なことを言うと嘘ばっかしになってしまいそうです。以下は単なる感想と思って聞いていただけるとありがたいです。 可積分系とは読んで字のごとく、積分可能な（微分）方程式、つまり解ける方程式のことですね。物理の立場では、特に自由度の数が多いときに方程式の解が求まるのは貴重なことなので、どんな場合に解けるのか、解ける場合は他の何かと関係していないか、そういうことを調べたくなるのはもっともなことです。コンピュータが発達してどんなものでもシミュレーションで結果がわかる時代にそんな必要があるのかと思われるかもしれませんが、シミュレーションというのは不自由なもので、どうしても近似が入りこむので注意が必要ですし、少し条件を変えるとまたすべてやり直しになってしまいます。ある問題と別の問題との関係といった深淵なことはなかなかわかりません。解ける場合というのはやはりとても貴重なんです。 自由度が多数（あるいは無限個）あるスピン系や場の量子論では、厳密に解ける場合というのはそんなにありません。もっともよく知られているのは「自由場」というやつです。場の変数をフーリエ変換して波数空間に移るとあら不思議。多数の自由度はすべて独立な調和振動子に化けるので、例の生成・消滅演算子を使って解ける。素粒子物理学者はその解を素粒子と呼び、物性物理のほうでは準粒子と呼びます。例えば光。互いに交差する光は何ごとも起こさずに通り過ぎていきます。あの様子を見るたびに「お、自由場だ。調和振動子だ」と思っちゃいますよね。（え？思いませんか？） 幸か不幸か、自然界はそんなに単純ではありません。フーリエ変換などをやっても解きほぐせない場合がほとんどです。仕方ないので解ける場合を基盤にして、そこからの近似を考える。摂動法といいます。やりたくてやっているわけではない。それしかできないからそうするんです。 そう考えてみると可積分系の優位点は明らかですね。摂動とかいうちゃちな近似なんかなしで、ちゃんと結果がわかる。厳密に。場の量子論の場合、それができるのはほぼ２次元の問題に限られます。あるいは超対称性といって対称性を増やして解けるようにした場合です。その結果は灯台のような目印あるいは基準点を示してくれる存在と言えるかもしれません。 やはりちゃんと答えられませんでした。上記は場の理論の立場から見た感想にすぎません。可積分系は数学のさまざまな分野にまたがる幅広い体系をなしているそうです。ソリトンや戸田格子などをキーワードに入門してみてください。