趣味で数学を学ぶ「日曜数学者」の人は、自分の周りでも最近増えていると感じます。自主勉強会やゼミを休日に開いて数学を学ぶ人たちを「アマチュア数学者」と呼ぶならば、アマチュア数学者は増えていると思います。

ただ、数学で新しい発見をして論文を書くような人は、日曜数学者からはほとんど現れていないと思います。数学の場合、そもそも「既存の数学を最先端レベルまで理解する」こと自体が極めて難しいです（日曜数学者の人たちは最先端よりはだいぶ手前段階の理解が目標のことが多い）。なので、最先端レベルまで理解したうえでその先の新たな発見をするのは厳しいです。

これと比較すると、天文学における新彗星発見や生物学における新種発見は、アマチュアでも比較的やりやすいでしょう。これらは博物学的なリストを作ることに価値がある領域で、かつ全ての網羅は大学の専門家でもやりきれないので、漏れがあることも多々あります。特に彗星は新たに観測可能領域に出現した場合も少なくないので、これは先人が見つけている可能性はなく、出現後に早い者勝ちで見つけられれば新発見になります。また、大学にいる天文学や生物学の専門家は、新たな星や種の発見だけでなく、見つかっている星や種の性質を詳しく調べることの研究にも重きが置かれているため、見つけそびれた星や種が残っている余地は比較的大きいです。

逆に、見つかっている星や生物の性質を詳しく調べるタイプの研究は、アマチュアではなかなか難しい状況だと思います（生物についてはいないわけではないですが）。こうした深掘りタイプの研究は、やはり大学にいる専門家の方が進めやすいでしょう。

まとめるなら、「上に積み上げる分野（数学が典型）」はアマチュアの新発見は難しく、「横に広げていく分野（天文学や生物学の一側面）」はアマチュアの新発見の余地が大きい、ということではないかと思います。