（少し前のことなのでうろ覚えですが、記憶が正しければ）講義でシュレーディンガー方程式の両辺をハミルトニアンで割っているのを見たのですが、作用素を分母に持つ分数というのはどの程度合法な存在なのでしょうか？
零点エネルギーのためハミルトニアンの固有値は非零なので、ハミルトニアンの逆作用素は常に存在する気がします。なので、少なくとも左からハミルトニアンの逆を掛けた結果を分数として書くのは正当化できそうな気がします。時間発展に関しても外場によってハミルトニアンが時間依存性を持つケースを除けば時間微分とハミルトニアンは可換なので、やはり問題はなさそうです。
ただ、一般論としては作用素は非可換なものですし、A/B が AB⁻¹ なのか B⁻¹A なのか区別できないのは困る気がします。