質問に対してはややずれた回答になりますが、ご了承ください。
数学の読み物を書いていますので、円周率は直接的に文章中に登場します。
円周や円の面積と関連して出てくる場合
三角関数と関連して出てくる場合
思いがけないところにひょっと顔を出してくる場合
など、さまざまな場面に出てきて楽しいです。
私の仕事の場合にはπのままで使うことが多く、有効数字や誤差が出てくる場面はそれほどありませんん。
図版を作成するときに円周率は頻繁に登場します。
「向き」や「角度」を表す場合でも円周率が出てきます。180度に対応する角度がπラジアンなので、πを使って向きや角度を表現するわけです。
「向き」や「角度」をずっと増やしていけば「回転」になるので、何かが回転する場面では必ず円周率が出てきます。
「回転」の影を観察すると「振動」になりますから、何かが「振動」する場面でも必ず円周率が出てきます。
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