集合と位相が基本中の基本で、数学のどの分野を勉強するにしても必要になります。
多様体は位相に基づいて定義された幾何学的空間ですので、位相の知識を知らないといけません。

群・環・体は代数的構造を調べる分野なので初歩的な段階では位相は使わないのですが、集合論は知っておくべきです。多様体論とは独立に（つまり並行して）勉強できます。

とても大雑把にいえば、群は足し算が定義された集合、環は足し算と掛け算、体はさらに割り算が定義されており、徐々に定義が複雑になっていくので、
群→環→体
の順序で勉強するのが普通ですが、必ずしもこの順序である必要はありません。

大学の数学科では
集合位相→２年生
多様体→３年生
群や環など初歩的な代数学→２年生～３年生
体→４年生以降で代数学を専攻した学生
といった感じです。