千葉逸人:曲面の性質を調べるには2階微分が重要になります。 簡単のため１変数関数 y = f(x) のグラフの形状を知りたいとしましょう。導関数 f'(x) が 0 になるところが極大値や極小値の候補（必要条件）になります。しかし y = x^3 (xの３乗) だと, 導関数は原点 x=0 において0になりますが、極値ではありません。 こういった場合は２階微分まで調べる必要があります。　 微分は傾きの大きさを調べるものですが、それが0になる場合は、その傾きの変化をみるためにもう一回微分するのです。 これを多変数関数に拡張すると、１階微分は gradient というベクトル になり、２階微分はヘッセ行列という２階テンソルになります。 さらにこれをリーマン多様体に拡張することを考えます。 リーマン多様体は距離が定まっている空間ですが、なにをもって２点間の「距離」を定義するかを定めないといけません。これは三平方の定理の拡張で行うので定義式に２乗がでてきます。したがって添え字が２つでてきて、リーマン計量は２階のテンソルになります。 そしてリーマン多様体の曲がり具合を調べたいとしましょう。 接線に対応する接ベクトルはリーマン計量の１階微分で、３階のテンソルになります。それがクリストッフェル記号です。 さらに極値などの情報を調べるためにはもう１回微分するので、添え字が１つ増えて４階のテンソルになります。 というわけで、リーマン多様体の定義において２階テンソルが必要で、それを２回微分したいから４階になる、ということです。