橋本 省二:数学者の頭の中を見てみたい。現実とは何の関係もなさそうな、論理だけで構築された宇宙で起こるできごとについて研究する。法則（あちらの世界では定理というそうです）を導いて、一度証明されたらもう絶対に正しい。もうとにかく数学こそ科学の王様です。「絶対に正しい」ということは他の分野では滅多にありませんからね。 ただし現実に戻ると、彼らが何を言っているのか普通の人たちにはわからないのが普通です。不気味な用語や記号がやたら登場する。議論のなかでは記号が擬人化され、その意味は数学を深く学んだ人にしかわからない。私みたいなにわかファンには意味不明です。もう嫌がらせじゃないかと思うくらい。 ご質問は何でしたっけ？ 曲率テンソルですか。４次というのは添字が４つついている４階のテンソルのことですかね。なぜ３階でも５階でもなく４階なのか。そういう質問だと理解しました。空間次元の話ではありませんよね。 空間が曲がっていることを表現するにはどうすればいいか。丸いボールの表面は曲がっている。それは見ればわかりますが、同じことをその空間に住んでいる人が知りたいと思ったらどうしたらいいかという問題です。地球の表面に住んでいる人が空を見ることなく地球が丸いことを認識できるか。どうすればいいと思いますか？ 数学の世界ではこうやるそうです。まず矢印を一つ用意し、それをある点から平行移動する。X方向に少し進み、次にY方向に少し進んでください。今度はもう一度同じことをやります。ただし、先にY方向、次にX方向の順で平行移動する。同じ場所にたどりついた２つの矢印をくらべてみましょう。平行移動したんだから、X→Y も Y→X も同じになるはずですが、これを曲がった空間でやったら同じにならないんですね。風船の表面に矢印を描いて試してみてください。これが「曲率」を定義するやり方です。 矢印がどう動いたか（回転したか）を表現するには行列を使うのが便利ですね。行列では行と列を区別するのにそれぞれ添字をつけます。２階のテンソルです。これに加えて、平行移動する面（さっきはXY面でした）を指定するのにあと２つ添字が必要になります。だから４階のテンソルなんですね。 ベクトルだけでもめんどくさいのに、添字が３つも４つもついたテンソルなんてもううんざりですよね。でもここを乗り切らないと物理学の勉強は進まないんです。何をあらわしているのか頭で想像しつつ、手を動かして慣れるしかない。ぜひがんばってください。

千葉逸人:曲面の性質を調べるには2階微分が重要になります。 簡単のため１変数関数 y = f(x) のグラフの形状を知りたいとしましょう。導関数 f'(x) が 0 になるところが極大値や極小値の候補（必要条件）になります。しかし y = x^3 (xの３乗) だと, 導関数は原点 x=0 において0になりますが、極値ではありません。 こういった場合は２階微分まで調べる必要があります。　 微分は傾きの大きさを調べるものですが、それが0になる場合は、その傾きの変化をみるためにもう一回微分するのです。 これを多変数関数に拡張すると、１階微分は gradient というベクトル になり、２階微分はヘッセ行列という２階テンソルになります。 さらにこれをリーマン多様体に拡張することを考えます。 リーマン多様体は距離が定まっている空間ですが、なにをもって２点間の「距離」を定義するかを定めないといけません。これは三平方の定理の拡張で行うので定義式に２乗がでてきます。したがって添え字が２つでてきて、リーマン計量は２階のテンソルになります。 そしてリーマン多様体の曲がり具合を調べたいとしましょう。 接線に対応する接ベクトルはリーマン計量の１階微分で、３階のテンソルになります。それがクリストッフェル記号です。 さらに極値などの情報を調べるためにはもう１回微分するので、添え字が１つ増えて４階のテンソルになります。 というわけで、リーマン多様体の定義において２階テンソルが必要で、それを２回微分したいから４階になる、ということです。