前提やどこに力点を置いているかによって答えが変わりそうですね。

まず単に原子核と言うと、陽子と中性子以外の粒子（重いクオークが入ったバリオン）も構成要素になると思いますが、ここでは原子の中の原子核を構成する要素がなぜ陽子と中性子なのかをお聞きになっているのかと推測します。

それは一言で言うと、陽子と中性子が他のバリオンに比べて安定だからということになると思います。陽子の崩壊は観測されたことがないし、中性子は自由な状態だと１５分程度の寿命があるものの、通常の原子核内では安定と言われています。他のバリオンはもっと不安定で、すぐに陽子や中性子などのより軽い粒子に崩壊してしまいます。そのため、陽子と中性子以外が入った原子核から構成されるものが身の回りに見当たらないのだと思います。