かのPRMLを初めとして多くのテキストでも紹介されているように、ディリクレ分布が多項分布の共役事前分布だからですね。ちょうど良い解説記事があるのでリンクを貼っておきます。

https://y-mattu.hatenablog.com/entry/2016/03/03/143451

ディリクレ分布は多項分布の共役事前分布として知られており、一言でいうと「さいころの目の出やすさ」の分布です。
多項分布は「出る目の分布」でディリクレ分布が「目の出やすさの分布」ということで、ベイズ統計では多項分布の事前分布としてディリクレ分布がよく使われます。
また、よく使われる理由のもう一つとして多項分布とディリクレ分布の積はディリクレ分布の形だということもあります。
つまり、事後確率分布が事前確率分布と同じ関数形になるということです。
(ちなみに二項分布の場合はベータ分布が同じ関係になります。なので、ディリクレ分布はベータ分布の一般化といえます。)

既にご存知かもですが、ベイズ的アプローチではこれは非常に重要な話です。少し前であればRStanによる実装で、最近なら（例えば）NumPyroによる実装で、多項分布のパラメータを推定するやり方の解説記事がそこかしこにありますので、一度調べて見てみることをお薦めします。