まずは大学におけるステップについてざっと説明します。
トポロジーとは
「図形の性質で、図形を連続変形しても不変なもの」
を研究する分野です。

では"図形"とは何か？を定義するために集合・位相や多様体論が必要になります。
"連続"とは何か？を定義するために微分積分学や位相空間論が必要になります。

２つの図形が同じか異なるかを判断するために代数学を使います。
これは大雑把に説明しますね。２次元の曲面は、穴の数だけで分類できることが証明されています。一番簡単なのが球面、次が穴が１つ空いたトーラス（ドーナツの表面のことです）、それから穴が２つあいたドーナツ・・・と続きます。
じゃあ、そもそも”穴”の定義は何かってなりますよね。そこで代数学という分野の出番になります。

さて、大学の数学科で習う順序としては
・微分積分学、線形代数学・・・１年生
・集合論と位相空間論、初歩的な代数学・・・２年生
・幾何学の研究をするための多様体論や代数ホモロジー・・・３年生以降

トポロジーの授業はそのあと、３年生後半や４年生、大学院となります。
もちろん大学では自由に勉強できるしそうすべきなので、カリキュラムに沿った順序で勉強する必要はないのですが。

大学の話をしましたが高校生ということで、上記のような前提知識がなくても読める本として
「トポロジー:柔らかい幾何学」 著：瀬山 士郎
をお薦めします。