千葉逸人:位相空間の定義として、全空間は開集合かつ閉集合です。 したがって球面を有限個に分割すると、そのそれぞれが開集合かつ閉集合になるので、個数の間に関係性はないと思います。 オイラーの多面体定理も、面と辺と点を分割したあとは、それら全てが開集合かつ閉集合になります。多面体定理の拡張としてはポアンカレ・ホップの定理 や アティヤ・シンガーの指数定理、リーマン・ロッホの定理などがありますが、それらも特に開集合や閉集合を区別した定理ではありません。