極めて雑なこというなら「曲線が滑らかであること」が微分可能であるということです。では「滑らか」とはどういうことか？それは「十分拡大したら限りなく直線に近づく」ということです。逆にくの字に曲がっている曲線はいくら拡大しても直線にはなりません。一方で地表は本当は曲面のはずなのに、我々は「平らだ」と感じてしまいます。これは地球の表面が微分可能で滑らかなので「十分に拡大すると」平らに見えるからです。

そして微分の値というのは十分に拡大して直線に見えた場合の直線の傾きです。地表の例で言えが斜面の傾きってことですね。ちなみにいくら拡大しても直線にならない曲線の例としてくの字のように降り曲がっている以外に、ペアノ曲線 - Wikipediaみたいに入れ子になっていて無限に入れ子が続いている場合や、そもそも崖みたいにとびがある場合もあります。高校ではなんでも微分できるように習いますが実際には微分できる場合の方が少ないです。

ペアノ曲線 - Wikipedia

https://ja.wikipedia.org